Función cuadrática

FUNCIÓN CUADRÁTICA

La función cuadrática, al igual que la función lineal, es una relación entre dos variables medibles x e y, en donde la variable y trabaja en función de lo que valga la variable x. En términos matemáticos Y=f(x).

La diferencia radica en la expresión algebráica de la variable x. Es decir, que para que una función se llame cuadrática, la variable x debe tener un exponente igual a 2. Por ejemplo las siguientes funciones serán cuadráticas:

•  f(x)= x²
•  f(x)= 1-x²
•  f(x)= x²+8
•  f(x)= 4x²-x+2

En términos generales, una función se dice cuadrática si tiene la forma:

f( x ) = ax ² + bx + c

Donde los números a,b,c ϵ ℛ con a≠0. Es decir, que los números a,b y c son números reales y a no puede ser cero.

Esta relación llamada cuadrática entre las variables x e y también tiene una representación gráfica en el plano cartesiano, se representa gráficamente construyendo una parábola.

PARÁBOLA: Curva abierta formada por dos líneas o ramas simétricas respecto de un eje y en que todos sus puntos están a la misma distancia del foco (un punto) y de la directriz (recta perpendicular al eje).

Estudiaremos dos tipos de parábolas que son las funcionales, es decir, las que abren hacia arriba y las que abren hacia abajo. Veremos cómo a partir de la función podemos construir su parábola representativa en el plano cartesiano identificando sus puntos característicos como: la abertura de la parábola, las coordenadas del vértice y los cortes con los ejes, tanto el x como el y.

EJEMPLO: Construir la gráfica de la función:

f( x ) = x² + 4x + 3

SOLUCIÓN: En primer lugar observamos que la función es cuadrática y por tanto representará una parábola en el plano cartesiano. Ahora identifiquemos los números a,b,c que la determinan:

a=1   b=4   c=3 

• Para saber si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo, solo hay que ver el signo del número a de la parábola. En nuestro ejemplo a=1 y 1>0 (positivo), por lo tanto la parábola de nuestro ejercicio abrirá hacia arriba. Si a hubiera sido negativo, la parábola abriría hacia abajo (recordemos que el número a no puede ser cero en ningún caso).
• Para conocer las coordenadas del vértice de la parábola, hay que conocer dos números, la coordenada en x, la coordenada en y. La coordenada en x se encuentra con la fórmula -b/2a , para nuestro ejercicio sería -4/2(1)=-2. Luego para la coordenada en y hay que evaluar la función con el número encontrado anteriormente, para nuestro ejercicio sería:
• f(-2)=(-2)²+4(-2)+3=-1  (Reemplazar x por el número encontrado)
• Por lo tanto el punto del plano donde se encuentra el vértice de nuestra parábola tiene coordenadas:
• Vértice=(-2,-1)
• Después de hallar las coordenadas del vértice hallemos los puntos de corte de la parábola con el eje x. Para ello debemos resolver la ecuación cuadrática; que en nuestro ejercicio sería:
•                       x² + 4x + 3 = 0
• Recordando las soluciones de las ecuaciones cuadráticas tenemos que las dos soluciones de la ecuación anterior son x=-3  y  x=-1

Si no recuerdas cómo resolver ecuaciones cuadráticas te dejo el siguiente link Ecuaciones cuadráticas.

• Lo anterior significa que el gráfico de nuestra parábola corta al eje x del plano cartesiano en los puntos -3 y -1.
• Para conocer el número por donde la parábola corta al eje y, solo hay que darle el valor a x de cero en la función, es decir encontrar f(0), que para nuestro ejemplo será: f(0)=(0)²+4(0)+3=3. Por lo tanto, la parábola de nuestro ejercicio cortará al eje y en punto 3.

Con los datos anteriormente encontrados ya podemos construir un bosquejo de la parábola que representa la función cuadrática. Para mayor presición en la gráfica podemos tabular otros puntos dando diversos valores a x. Finalmente la parábola de nuestra función cuadrática quedará así:

    ¡Ahora si a practicar!