Función cuadrática

FUNCIÓN CUADRÁTICA

La función cuadrática, al igual que la función lineal, es una relación entre dos variables medibles x e y, en donde la variable y trabaja en función de lo que valga la variable x. En términos matemáticos Y=f(x).

La diferencia radica en la expresión algebráica de la variable x. Es decir, que para que una función se llame cuadrática, la variable x debe tener un exponente igual a 2. Por ejemplo las siguientes funciones serán cuadráticas:

•  f(x)= x²
•  f(x)= 1-x²
•  f(x)= x²+8
•  f(x)= 4x²-x+2

En términos generales, una función se dice cuadrática si tiene la forma:

f( x ) = ax ² + bx + c

Donde los números a,b,c ϵ ℛ con a≠0. Es decir, que los números a,b y c son números reales y a no puede ser cero.

Esta relación llamada cuadrática entre las variables x e y también tiene una representación gráfica en el plano cartesiano, se representa gráficamente construyendo una parábola.

PARÁBOLA: Curva abierta formada por dos líneas o ramas simétricas respecto de un eje y en que todos sus puntos están a la misma distancia del foco (un punto) y de la directriz (recta perpendicular al eje).

Estudiaremos dos tipos de parábolas que son las funcionales, es decir, las que abren hacia arriba y las que abren hacia abajo. Veremos cómo a partir de la función podemos construir su parábola representativa en el plano cartesiano identificando sus puntos característicos como: la abertura de la parábola, las coordenadas del vértice y los cortes con los ejes, tanto el x como el y.

EJEMPLO: Construir la gráfica de la función:

f( x ) = x² + 4x + 3

SOLUCIÓN: En primer lugar observamos que la función es cuadrática y por tanto representará una parábola en el plano cartesiano. Ahora identifiquemos los números a,b,c que la determinan:

a=1   b=4   c=3 

• Para saber si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo, solo hay que ver el signo del número a de la parábola. En nuestro ejemplo a=1 y 1>0 (positivo), por lo tanto la parábola de nuestro ejercicio abrirá hacia arriba. Si a hubiera sido negativo, la parábola abriría hacia abajo (recordemos que el número a no puede ser cero en ningún caso).
• Para conocer las coordenadas del vértice de la parábola, hay que conocer dos números, la coordenada en x, la coordenada en y. La coordenada en x se encuentra con la fórmula -b/2a , para nuestro ejercicio sería -4/2(1)=-2. Luego para la coordenada en y hay que evaluar la función con el número encontrado anteriormente, para nuestro ejercicio sería:
• f(-2)=(-2)²+4(-2)+3=-1  (Reemplazar x por el número encontrado)
• Por lo tanto el punto del plano donde se encuentra el vértice de nuestra parábola tiene coordenadas:
• Vértice=(-2,-1)
• Después de hallar las coordenadas del vértice hallemos los puntos de corte de la parábola con el eje x. Para ello debemos resolver la ecuación cuadrática; que en nuestro ejercicio sería:
•                       x² + 4x + 3 = 0
• Recordando las soluciones de las ecuaciones cuadráticas tenemos que las dos soluciones de la ecuación anterior son x=-3  y  x=-1

Si no recuerdas cómo resolver ecuaciones cuadráticas te dejo el siguiente link Ecuaciones cuadráticas.

• Lo anterior significa que el gráfico de nuestra parábola corta al eje x del plano cartesiano en los puntos -3 y -1.
• Para conocer el número por donde la parábola corta al eje y, solo hay que darle el valor a x de cero en la función, es decir encontrar f(0), que para nuestro ejemplo será: f(0)=(0)²+4(0)+3=3. Por lo tanto, la parábola de nuestro ejercicio cortará al eje y en punto 3.

Con los datos anteriormente encontrados ya podemos construir un bosquejo de la parábola que representa la función cuadrática. Para mayor presición en la gráfica podemos tabular otros puntos dando diversos valores a x. Finalmente la parábola de nuestra función cuadrática quedará así:

    ¡Ahora si a practicar!

 

 

 

 

Notación científica

FÍSICA

SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES

Después de tener claridad en cuanto al sistema internacional de unidades, y la unidad escogida para cada magnitud, tengamos presente que así como existirán medidas muy pequeñas, también existirán medidas muy grandes para expresarlas en la unidad seleccionada. Por ejemplo, medir la distancia del ancho de nuestra galaxia en metros, o el largo de un virus también en metros. Para ello se hace necesario estudiar el concepto de notación científica.

NOTACIÓN CIENTÍFICA

    

Muy bien, ahora a trabajar con la teoría estudiada. Recuerda que los ejercicios propuestos deben aparecer en tu cuaderno de física y no olvides dejar tu comentario para saber que estuviste aquí.

También puedes poner a prueba tus conocimientos con una prueba en linea. Click en la imagen e intenta obtener mínimo el 80% de los aciertos.

  

 ¡ÉXITOS!

Suma y resta enteros

NÚMEROS ENTEROS

 Recordemos que los números enteros están compuestos por los positivos, los negativos y el cero. Que ubicarlos en la recta numérica es esencial para poder ordenarlos, pues entre más a la derecha sobre la recta numérica se encuentre un entero de otro, este será mayor.

Repacemos ahora aritmética con estos números enteros, empezando con las operaciones fundamentales, suma, resta, multiplicación y división. 

SUMA DE NÚMEROS ENTEROS

Hay que tener muy presente la regla para la operación con los signos, recordadno que una de las cosas más importantes en las soluciones aritméticas es el signo del resultado. La regla es la siguiente:

SIGNOS IGUALES SE SUMAN, SIGNOS DIFERENTES 

SE RESTAN Y EL RESULTADO SIEMPRE LLEVARÁ

EL SIGNO DEL NÚMERO MÁS GRANDE

EN VALOR ABSOLUTO

 Veamos algunos ejemplos de esta situación:

En el recuadro anterior vemos dos ejemplos agrupados donde se utiliza la regla para sumar números enteros. Como este es un tema ya explicado en clase, pasemos a realizar un pequeño taller de repaso:

RESTA DE NÚMEROS ENTEROS

Para realizar restas, hay que transformarlas en sumas. Así es! Las restas se resuelven con la misma regla, con la diferencia de que se cambiará el signo menos por un signo más y que el segundo sumando será el opuesto del sustraendo en la resta. Todo lo anterior se puede ejemplificar de la siguiente manera:

Muy bien, ahora pasemos a un pequeño taller de repaso para afianzar las operaciones estudiadas.

Muy bien, ya para finalizar, pensaremos en los siguientes ejercicios en donde pondremos a prueba toda la teoría y técnica aprendida a partir de la suma y la resta de números enteros.

Recuerda que las soluciones a los talleres deberán estar en tu cuaderno de matemáticas y no olvides dejar tu comentario para saber que estuviste aquí.

También puedes medir tus conocimientos obteniendo mínimo el 80% de aciertos en la siguiente prueba en linea; click en la imagen:

¡ÉXITOS! 

Inecuaciones

INECUACIONES

Una inecuación es una desigualdad algebraica en la que sus dos miembros aparecen ligados por uno de estos signos:

La solución de una inecuación es el conjunto de valores de la variable que verifica la inecuacíón. Podemos expresar la solución de la inecuación mediante una representación gráfica o un intervalo:

Ejemplos:

1. Resolver la ecuación           

Representación gráfica:     

Intervalo:

2. Resolver la ecuación             

Representación gráfica:     

Intervalo:

3. Resolver la ecuación         

Representación gráfica:     

Intervalo:

4. Resolver la ecuación            

Representación gráfica: 

Intervalo:

DESPEJE DE INECUACIONES

La metodología de resolución es análoga a la de las ecuaciones, pero teniendo siempre en cuenta que se trata de una desigualdad. Esto supone, por ejemplo, cambiar el signo de la desigualdad cada vez que multiplicamos o dividimos por un negativo para mantener la relación.

Ejemplo:

$$2\le 3$$

Para multiplicar por un negativo, por ejemplo, -2, cambiamos la desigualdad al resultado:

$$-2\cdot 2\ge -2\cdot 3$$

$$-4\ge -6$$

Notemos que si no la cambiamos, obtenemos una relación falsa ($-4\le -\mathrm{6).}$

Resolvamos una inecuación con variable negativa

En el proceso solución de la inecuación podemos observar como cambia de orden la desigualdad cuando el signo negativo aparece como factor de la variable.  Es decir, en palabras técnicas, cuando el factor que va a pasar a dividir es negativo. 

Por otro lado , para las inecuaciones cuadráticas y las de valor absoluto, observemos los siguientes videos:

INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO

En el primer video se estudian las inecuaciones cuando la desigualdad es mayor que, en el segundo video cuando la desigualdad es menor que y en el tercero las inecuaciones cuadráticas.

  
Es hora de practicar! el siguiente taller debe ir en el respectivo cuaderno de cálculo. No olvides dejar tu comentario para saber que leíste el blog.

 En el siguiente enlace podrás realizar una prueba virtual que pondrá a prueba tus conocimientos. Click en la imagen

 

Función lineal

FUNCIONES

Las funciones matemáticas son relaciones entre una cierta cantidad de variables. En este curso nos encargaremos de estudiar las funciones reales, particularmente,  las que establecen una relación entre DOS variables medibles. Relación que puede ser representada mediante un gráfico en el plano cartesiano (sistema de referencia para hacer mediciones en un plano). Dicho gráfico nos proporciona una mirada más global de la situación estudiada y del comportamiento de las DOS variables en cuestión.

Un buen ejemplo podría ser la relación existente entre el precio que se paga por la compra de un producto y la cantidad de unidades que se desea adquirir. En este ejemplo podemos concluir, sin mucho que analizar, que a mayor cantidad de unidades del producto compradas, mayor será el precio a pagar. Aquí las dos variables a tener en cuenta fueron el precio, llamémosle y, y la cantidad de unidades compradas, llamémosle x; ambas medibles. También podemos resaltar el hecho de que el precio, dependerá de la cantidad de unidades a comprar, es decir que la variable y dependerá de la variable x.

Así podemos encontrar numerosos ejemplos que pueden ser estudiados con la teoría de las funciones reales a dos variables, cuya situación puede ser analizada desde un gráfico en el plano cartesiano.

	VARIABLE INDEPENDIENTE x	VARIABLE DEPENDIENTE y
1	Número de unidades compradas	Precio de la compra
2	Autoestima	Calidad de vida
3	Ventas	Utilidades
4	Árboles talados	Calidad del aire
5	Tiempo	Distancia
6	Temperatura	Estrés
7	Gravedad	Peso

Un ejemplo de un gráfico que muestra la relación entre ventas (número de unidades vendidas, variable independiente x) y utilidades (ganancia monetaria del negocio, variable dependiente y) podría ser el siguiente:

El gráfico anterior es una recta, que matemáticamente reconoceremos como una función lineal, que no es más que uno de los tantos tipos de funciones reales que se podrán estudiar en este curso.

EMPECEMOS CON LA FUNCIÓN LINEAL
 La función lineal es una relación entre dos variables x y y. La variable x se llama independiente y la variable y se llama dependiente, ya que su valor depende del valor que se le asigne a x. Para que la función se llame lineal, el exponente de ambas variables tiene que ser exactamente 1. En este orden de ideas la variable y trabajará en función de lo que valga la variable x, es decir:

y=f(x) 

Si la función es lineal, su gráfico en el plano cartesiano será una recta. Los siguientes son ejemplos de funciones lineales:

• f(x)=x+4
• f(x)=5-x
• f(x)=9x+10
• f(x)=7-3x 

Las siguientes funciones NO son lineales:

• f(x)=X²
• f(x)=5^x

A continuación veamos este video para aclarar algunas dudas de su representacón gráfica en el plano cartesiano.

 Ahora a trabajar, construyamos un plano cartesiano en el cuaderno y sobre él grafiquemos las siguientes funciones lineales:

 



También tenemos el siguiente examen en linea donde podrás medir tus capacidades obteniendo como mínimo un 80% de la nota:

¡ÉXITOS!